Senso Comum

(ITA - SP) Uma pequena lâmpada L pende de uma mola e executa oscilações verticais, cuja equação é y = 2,0 cos 4,0 t, sendo y medido em mm e t em segundos. Uma lente delgada convergente, de distância focal f = 15 cm é colocada a 20 cm do centro de oscilação da lâmpada e a imagem é projetada num anteparo.

Qual é a equação que representa o movimento dessa imagem?

Veja a resposta em http://uniplebe.blogspot.com/2011/11/problema-de-fisica-03.html)

Dentre todos os cilindros circulares retos com o mesmo volume V, qual é o que tem a menor área total? (fonte: Matemática Essencial - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html)

Veja a resposta em http://uniplebe.blogspot.com/2011/10/problema-de-calculo-02.html)

(Avaliação de Cálculo I da UFMG, abril de 2007) Determine os valores de a e b para que a função f, definida a seguir, seja contínua em x = 3.

f(x) = {√[(x + 1) - a] / (x - 3), se x > -1 e x diferente de 3; bx + 1, se x = 3.

(UFCE) Uma bola de 1 cm de diâmetro rola do alto de uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 2 m/s, conforme a figura. Os degraus da escada têm 18 cm de altura e 18 cm de largura. Desprezando a resistência do ar e considerando g = 10 m/s², determine o primeiro degrau atingido pela bola.

Esse exercício também está em http://uniplebe.blogspot.com/search/label/senso-comum

1 (AFTN, 1996) - Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

Comecemos pela do meio. Ela pode ser mesmo Janete ou pode ser Angélica, mas não pode ser Tânia. A da esquerda também não pode ser Tânia, pois estaria mentindo. Logo, Tânia é a da direita. Se Tânia é a da direita, é verdade que Angélica é a do meio. Logo, a ordem da esquerda para a direita é Janete, Angélica, Tânia. Opção b.

2 (ESAF) - Seja O o conjunto de objetos e P, Q, R, S propriedades sobre esses objetos. Sabendo-se que para todo objeto X em O:

1 - P(X) se verifica

2 - Q(X) se verifica

3 - Se P(X), Q(X) e R(X) se verificam, então S(X) se verifica

Pode-se concluir, para todo X em O, que:

a) Se S(X) se verifica, então R(X) se verifica

b) S(X) e R(X) se verificam

c) Se R(X) se verifica, então S(X) se verifica

d) Se P(X) e Q(X) se verificam, então R(X) se verifica

e) Se S(X) e Q(X) se verificam, então P(X) e R(X) se verificam

Dado que P(X) e Q(X) se verificam sempre, se R(X) se verifica, então S(X) se verifica. Opção c.

Observe que a recíproca (dada na opção a) não é necessariamente verdadeira. Se p implica em q, não necessariamente q implica em p.

Podemos trabalhar o argumento assim:

1 - (X)(O(X) -> P(X)) (para todo X, se X pretence a O, P(X) se verifica)

2 - (X)(O(X) -> Q(X)) (para todo X, se X pretence a O, Q(X) se verifica)

3 - (X){O(X) -> [(P(X) ^ Q(X) ^ R(X)) -> S(X)]} (para todo X, se X pretence a O, se P(X), Q(X) e R(X) se verificam, então S(X) se verifica)

4 - (X)[O(X) -> (P(X) ^ Q(X))] (1 e 2, conjunção)

5 - (X) {O(X) -> [(P(X) ^ Q(X) ^ R(X)) = R(X)]} (3 e 4, simplificação)

6 - (X)[O(X) -> (R(X) -> S(X))] (5 em 3)

3 (ESAF) - Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana - a filha de olhos azuis -, em número de anos completados, é igual

a) à idade de Júlia mais 7 anos

b) ao triplo da idade de Júlia

c) à idade de Júlia mais 5 anos

d) ao dobro da idade de Júlia

e) à idade de Júlia mais 11 anos

Veja bem: um número primo por definição é um número que tem por divisores apenas ele mesmo e 1. Um produto de dois números inteiros é múltiplo pelo menos destes dois números. Logo, se esse produto é primo, um desses números é… 1. Se o outro é ímpar, a soma é par e o produto é ímpar. Se a soma é par e prima, não pode ser outra senão dois, o que leva ambas as idades a serem iguais a 1. Mas elas devem ser diferentes, já que uma irmã é mais nova que a outra. Logo, a soma deve ser ímpar. Logo, uma idade é 1 e a outra é par. Mas o produto será par, e se é primo, não pode ser outro senão 2. Logo, as idades das filhas são 1 e 2. Ana tem 2 e Júlia tem 1. Opção d.

4 (ITA, 2002) - A massa inercial mede a dificuldade em se alterar o estado de movimento de uma partícula. Analogamente, o momento de inércia de massa mede a dificuldade em se alterar o estado de rotação de um corpo rígido. No caso de uma esfera, o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo seu centro é dado por I = (2 / 5) MR², em que M é a massa da esfera e R seu raio. Para uma esfera de massa M = 25,0 kg e raio R = 15,0 cm, a alternativa que melhor representa o seu momento de inércia é

É só substituir na fórmula.

I = (2 / 5) × 25,0 kg × (0,15 m) ² (observe que as opções estão em kg × m²)

I = (2 / 5) × 25,0 kg × 0,0225 m² = 0,225 kg × m²

Opção c.

5 (FUVEST) - Numa certa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?

É uma porcentagem p%. Assim,

30% × (p / 100) + 10% × (1 - p / 100) = 18% =>

0,3 p + 10 – 0,1 p = 18 => 0,2 p + 10 = 18 =>

0,2 p = 8 => p = 40

A Bíblia nos traz um relato sobre o templo construído no reinado de Salomão, com este trecho:

Fez mais o mar de fundição, de dez côvados de uma borda até a outra borda, perfeitamente redondo, e de cinco côvados de alto; e um cordão de trinta côvados o cingia em redor. (I Rs 5. 23)

Vários ateus já apontaram este trecho como um dos erros da Bíblia: segundo eles, o autor coloca que pi é igual a 3.

A questão é: encontrar dois números racionais de uma ou duas casas decimais, um que arredondado é 30 e outro que arredondado é 10, cujo quociente é entre 3,14 e 3,15 (pi é, com 8 casas decimais, 3,14159265).

Um usuário de ônibus na região metropolitana de Belo Horizonte pegou dois ônibus do DER-MG usando o cartão Ótimo, que permite usar dois ônibus dentro de 90 minutos com desconto de metade da menor tarifa: a primeira tarifa é debitada normalmente e o desconto é dado na segunda. O primeiro ônibus tinha tarifa de R$ 3,50. Ao passar pela roleta do segundo, no qual o valor da tarifa não estava afixado mas estava exibido na tela do leitor do cartão, o usuário viu que o débito foi de R$ 2,10 e calculou a tarifa do segundo ônibus. Qual a tarifa do segundo ônibus?

Trabalho na prefeitura de Nova Lima. Certa vez, me foi dada a planta de um prédio do qual eu deveria calcular a área. O prédio é em forma de setor de coroa circular, como esta figura.

a) Dadas os arcos a₁ e a₂ e a largura l, qual a área do setor de coroa circular mostrado na figura?

b) A planta que recebi trazia as dimensões mostradas na figura. Uma delas está errada. Por quê?

c) Assumindo que a dimensão errada esteja com algarismos trocados, qual o valor certo? E qual a área em planta do prédio com a dimensão certa?

Dentre todos os cilindros circulares retos com o mesmo volume V, qual é o que tem a menor área total? (fonte: Matemática Essencial - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html)

Coloquemos h em função de R na primeira equação: h = V / (p × R²).

Na segunda equação, teremos A = 2 p × R × [R + V / (p × R²)] = 2 p × R² + 2 V × R^-1

Os valores de máximo ou mínimo da função ocorrem para dA/dh = 0.

dA/dh = 4 p × R - 2 V × R^-2.

4 p × R - 2 V × R^-2 = 0 => 4 p × R³ = 2 V => R³ = V / (2 p).

Sendo V = 2 p × R³ (equação acima), 2 p × R³ = p × R² × h => h = 2 R

Coloquemos h em função de R na primeira equação: h = V / (p × R²).

Na segunda equação, teremos A = 2 p × R × [R + V / (p × R²)] = 2 p × R² + 2 V × R^-1

Os valores de máximo ou mínimo da função ocorrem para dA/dh = 0.

dA/dh = 4 p × R - 2 V × R^-2.

4 p × R - 2 V × R^-2 = 0 => 4 p × R³ = 2 V => R³ = V / (2 p).

Sendo V = 2 p × R³ (equação acima), 2 p × R³ = p × R² × h => h = 2 R

R.: R = [V / (2 p)]^1/3, h = 2 × [V / (2 p)]^1/3 = (4 V / p)^1/3

Dirão os professores e os graduados em Filosofia que a Filosofia nos leva a refletir sobre o mundo. Mas…

1. Por que os filósofos repudiam o senso comum, que é exatamente o que percebemos do mundo?

2. Melhor: por que os filósofos confundem senso comum com preconceito coletivo?

3. Na época em que coisas que nos são de conhecimento comum eram no mínimo idéias estranhas, como quando um médico descobriu que o índice de infecções hospitalares caía drasticamente quando o médico lavava as mãos antes dos procedimentos médicos e quando propôs que os colegas o fizessem ainda foi demitido; em que ciência séria podia ser atrapalhada até pela Igreja Católica, como o conhecido caso de Galileu Galilei; em que devotos que queriam purificar o Cristianismo institucionalizado acabaram excomungados e se tornando líderes protestantes, como até hoje há quem diga que Martinho Lutero é a besta do Apocalipse; em que qualquer indivíduo que parecesse não concordar com a mediocridade reinante podia ser assassinado por qualquer ajuntamento de carolas analfabetos; como podia existir uma Filosofia incitando o raciocínio já firmada?

4. Por que os que são formados ou pretendem se formar em Filosofia, ou em qualquer curso das Ciências Humanas, são os mesmos que quando vêem qualquer problema de Física ou Matemática que use duas ou três fórmulas parecem que viram o Lobisomem armado?

Eu poderia ter dado as respostas que eu tenho, mas você já tinha feito as perguntas?

Walter Nunes Braz Júnior